¿Qué es vectores linealmente independientes?

En matemáticas, un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes si ninguno de los vectores del conjunto puede ser expresado como una combinación lineal de los demás vectores. En otras palabras, si ninguno de los vectores puede ser escrito como una suma de los otros vectores multiplicados por escalares.

Formalmente, un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} en un espacio vectorial V se dice que son linealmente independientes si la única combinación lineal que los iguala a cero es aquella en la que todos los escalares son cero, es decir:

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0 solo si a1 = a2 = ... = an = 0

Si un conjunto de vectores no es linealmente independiente, entonces se dice que son linealmente dependientes. Esto significa que al menos uno de los vectores del conjunto puede ser expresado como una combinación lineal de los demás vectores.

La linealmente independencia de un conjunto de vectores es importante en diversos temas de álgebra lineal, como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la combinación lineal de vectores, la representación de bases para espacios vectoriales, entre otros. Además, la independencia lineal es una característica fundamental en la definición de espacio vectorial.